In this note, we showcase some recent results obtained in [DSV19] concerning the stickiness properties of nonlocal minimal graphs in the plane. To start with, the nonlocal minimal graphs in the plane enjoy an enhanced boundary regularity, since boundary continuity with respect to the external datum is sufficient to ensure differentiability across the boundary of the domain. As a matter of fact, the Hölder exponent of the derivative is in this situation sufficiently high to provide the validity of the Euler-Lagrange equation at boundary points as well. From this, using a sliding method, one also deduces that the stickiness phenomenon is generic for nonlocal minimal graphs in the plane, since an arbitrarily small perturbation of continuous nonlocal minimal graphs can produce boundary discontinuities (making the continuous case somehow “exceptional” in this framework).

In questa nota, presentiamo alcuni risultati recenti ottenuti in [DSV19] relativi alla proprietà di “appiccicosità” dei grafici minimi nonlocali nel piano. I grafici minimi non locali nel piano godono di una regolarità “accresciuta” al bordo, in quanto la continuità al bordo rispetto al dato esterno `e sufficiente a garantire la differenziabilità attraverso il bordo del dominio. Inoltre, l’esponente di Hölder della derivata è sufficientemente grande da garantire la validità dell’equazione di Eulero-Lagrange anche ai punti di bordo del dominio. Da ciò, usando un metodo di scivolamento, si ottiene anche che il fenomeno di appiccicosità è generico per grafici minimi non locali nel piano, nel senso che una perturbazione arbitrariamente piccola di grafici minimi nonlocali continui produce discontinuità al bordo (rendendo quindi il caso continuo in qualche modo “ eccezionale ”).

Serena Dipierro, Aleksandr Dzhugan, Nicolò Forcillo, Enrico Valdinoci (2020). Enhanced boundary regularity of planar nonlocal minimal graphs and a butterfly effect. BRUNO PINI MATHEMATICAL ANALYSIS SEMINAR, 11(1), 44-68 [10.6092/issn.2240-2829/10585].

Enhanced boundary regularity of planar nonlocal minimal graphs and a butterfly effect

Nicolò Forcillo;
2020

Abstract

In this note, we showcase some recent results obtained in [DSV19] concerning the stickiness properties of nonlocal minimal graphs in the plane. To start with, the nonlocal minimal graphs in the plane enjoy an enhanced boundary regularity, since boundary continuity with respect to the external datum is sufficient to ensure differentiability across the boundary of the domain. As a matter of fact, the Hölder exponent of the derivative is in this situation sufficiently high to provide the validity of the Euler-Lagrange equation at boundary points as well. From this, using a sliding method, one also deduces that the stickiness phenomenon is generic for nonlocal minimal graphs in the plane, since an arbitrarily small perturbation of continuous nonlocal minimal graphs can produce boundary discontinuities (making the continuous case somehow “exceptional” in this framework).
2020
Serena Dipierro, Aleksandr Dzhugan, Nicolò Forcillo, Enrico Valdinoci (2020). Enhanced boundary regularity of planar nonlocal minimal graphs and a butterfly effect. BRUNO PINI MATHEMATICAL ANALYSIS SEMINAR, 11(1), 44-68 [10.6092/issn.2240-2829/10585].
Serena Dipierro; Aleksandr Dzhugan; Nicolò Forcillo; Enrico Valdinoci
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