Testo italiano Partendo dall'approccio comune dello studio delle proprietà geometriche e microlocali nei modelli a Equazioni alle Derivate Parziali (EDP), e condividendo anche molti aspetti tecnici, il progetto si sviluppa nelle direzioni di ricerca qui richiamate in maniera breve e schematica. Per maggiori dettagli si vedano i punti 11 e 13 dove verranno descritte anche le interazioni e le collaborazioni tra ricercatori di questa e delle altre unità e con studiosi stranieri, oltre allo stato dell'arte. A) PROBLEMA DI CAUCHY IPERBOLICO PER EQUAZIONI E SISTEMI. Si vuole portare avanti lo studio della buona posizione del problema di Cauchy per operatori e sistemi iperbolici (del primo e del secondo ordine) con caratteristiche doppie, o più in generale di molteplicità variabile, e/o con coefficienti poco regolari. Nel caso delle equazioni, i punti qualificanti sono lo studio della geometria della mappa hamiltoniana (detta anche matrice fondamentale), partendo dalla sua struttura lineare e stabilità, e delle relazioni tra la regolarità dei coefficienti e la qualità delle soluzioni. Per i sistemi, si vuole studiare, nel caso del primo e del secondo ordine, quali condizioni sulla geometria del simbolo principale e di Levi sulle parti di ordine inferiore siano necessarie/sufficienti quando il rango del simbolo principale su un punto multiplo non è massimale. E' in programma anche lo studio della controparte anisotropa e non-kovaleskiana delle equazioni iperboliche costituita dalle equazioni di evoluzione con caratteristiche reali. B) IPOELLITICITA', RISOLUBILITA', TEORIA SPETTRALE. Si vuole continuare lo studio della ipoellitticità con perdita di molte derivate nel caso C^infty ed intraprendere lo studio dell'ipoellitticità (C^infty, analitica) per operatori somme di quadrati di campi vettoriali complessi. Si vuole intraprendere lo studio della risolubilità di operatori a caratteristiche doppie e dei sistemi quadrati di operatori differenziali in termini della geometria del simbolo. Si vuole portare avanti lo studio della struttura spettrale (clustering, asintotica di Weyl, funzione zeta spettrale) di sistemi di operatori a coefficienti polinomiali su R^n globalmente ellittici in termini della geometria simplettica del simbolo e della dinamica delle bicaratteristiche associate agli autovalori del simbolo. C) OPERATORI E STIME PSEUDIDIFFERENZIALI. Si vuole continuare lo studio delle condizioni geometriche sul simbolo di sistemi di operatori pseudodifferenziali che siano necessarie/sufficienti per stime dal basso con particolare interesse alla disuguaglianza di Fefferman-Phong, caso particolarmente significativo in quanto la stima è vera per simboli non negativi, mentre è in generale falsa nel caso dei sistemi. Si vuole provare la congettura SAK di Fefferman nel caso di un operatore trasversalmente ellittico, ossia che degenera esattamente al second'ordine sul suo proprio insieme caratteristico. Si intendono studiare equazioni pseudodifferenziali che si originano in Finanza per la valutazione di derivati in cui il sottostante segue un processo stocastico non Gaussiano, in particolare processi di Lèvy o, più in generale, di Feller. D) CONTINUAZIONE UNICA. Si intende portare avanti lo studio della continuazione unica forte per equazioni, disequazioni e sistemi ellittici. Si vogliono inoltre studiare gli insiemi nodali per alcuni operatori ellittici, indagandone le proprietà geometriche.

ANALISI NELLE SPAZIO DELLE FASI PER EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI

CICOGNANI, MASSIMO;
2010

Abstract

Testo italiano Partendo dall'approccio comune dello studio delle proprietà geometriche e microlocali nei modelli a Equazioni alle Derivate Parziali (EDP), e condividendo anche molti aspetti tecnici, il progetto si sviluppa nelle direzioni di ricerca qui richiamate in maniera breve e schematica. Per maggiori dettagli si vedano i punti 11 e 13 dove verranno descritte anche le interazioni e le collaborazioni tra ricercatori di questa e delle altre unità e con studiosi stranieri, oltre allo stato dell'arte. A) PROBLEMA DI CAUCHY IPERBOLICO PER EQUAZIONI E SISTEMI. Si vuole portare avanti lo studio della buona posizione del problema di Cauchy per operatori e sistemi iperbolici (del primo e del secondo ordine) con caratteristiche doppie, o più in generale di molteplicità variabile, e/o con coefficienti poco regolari. Nel caso delle equazioni, i punti qualificanti sono lo studio della geometria della mappa hamiltoniana (detta anche matrice fondamentale), partendo dalla sua struttura lineare e stabilità, e delle relazioni tra la regolarità dei coefficienti e la qualità delle soluzioni. Per i sistemi, si vuole studiare, nel caso del primo e del secondo ordine, quali condizioni sulla geometria del simbolo principale e di Levi sulle parti di ordine inferiore siano necessarie/sufficienti quando il rango del simbolo principale su un punto multiplo non è massimale. E' in programma anche lo studio della controparte anisotropa e non-kovaleskiana delle equazioni iperboliche costituita dalle equazioni di evoluzione con caratteristiche reali. B) IPOELLITICITA', RISOLUBILITA', TEORIA SPETTRALE. Si vuole continuare lo studio della ipoellitticità con perdita di molte derivate nel caso C^infty ed intraprendere lo studio dell'ipoellitticità (C^infty, analitica) per operatori somme di quadrati di campi vettoriali complessi. Si vuole intraprendere lo studio della risolubilità di operatori a caratteristiche doppie e dei sistemi quadrati di operatori differenziali in termini della geometria del simbolo. Si vuole portare avanti lo studio della struttura spettrale (clustering, asintotica di Weyl, funzione zeta spettrale) di sistemi di operatori a coefficienti polinomiali su R^n globalmente ellittici in termini della geometria simplettica del simbolo e della dinamica delle bicaratteristiche associate agli autovalori del simbolo. C) OPERATORI E STIME PSEUDIDIFFERENZIALI. Si vuole continuare lo studio delle condizioni geometriche sul simbolo di sistemi di operatori pseudodifferenziali che siano necessarie/sufficienti per stime dal basso con particolare interesse alla disuguaglianza di Fefferman-Phong, caso particolarmente significativo in quanto la stima è vera per simboli non negativi, mentre è in generale falsa nel caso dei sistemi. Si vuole provare la congettura SAK di Fefferman nel caso di un operatore trasversalmente ellittico, ossia che degenera esattamente al second'ordine sul suo proprio insieme caratteristico. Si intendono studiare equazioni pseudodifferenziali che si originano in Finanza per la valutazione di derivati in cui il sottostante segue un processo stocastico non Gaussiano, in particolare processi di Lèvy o, più in generale, di Feller. D) CONTINUAZIONE UNICA. Si intende portare avanti lo studio della continuazione unica forte per equazioni, disequazioni e sistemi ellittici. Si vogliono inoltre studiare gli insiemi nodali per alcuni operatori ellittici, indagandone le proprietà geometriche.
F. Colombini; M. Cicognani; D. Del Santo
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