Analisi e Geometria nello spazio delle fasi ed Equazioni alle Derivate Parziali

Questo progetto vuole essere la naturale continuazione dell’analogo progetto 2008 all’interno del quale si sono ottenuti risultati molto interessanti e sono nate nuove linee di ricerca nell’Analisi e nella Geometria nello Spazio delle Fasi per vari problemi e modelli riconducibili alle Equazioni alle Derivate Parziali. Nel nuovo progetto si intendono continuare varie collaborazioni multilaterali tra i partecipanti e con studiosi stranieri, specialmente valorizzando l’apporto di alcuni giovani ricercatori. Le tematiche sono descritte qui di seguito in maggior dettaglio assieme alle principali collaborazioni, ferme restando le sinergie tra tutti i membri del progetto su tutti gli argomenti che si intendono affrontare nelle linee comuni di indirizzo. A) PROBLEMI DI RISOLUBILTA’ E IPOELLITTICITA’ F. Colombini (Pisa), P. Cordaro (San Paulo), M. Mughetti (Bologna), A. Parmeggiani (Bologna), L. Pernazza (Pavia). Si intende continuare lo studio, in termini di geometria simplettica dello spazio delle fasi, della validità della stima di Fefferman-Phong per sistemi; continuare lo studio dello spettro di sistemi globalmente ellittici di equazioni differenziali a coefficienti polinomiali e delle proprietà delle relative funzioni zeta-spettrali e formule di Poisson; studiare condizioni geometriche necessarie e/o sufficienti per la risolubilità di sistemi NxN. Si intende studiare l'ipoellitticita' (C^infty, analitica) per operatori somme di quadrati di campi vettoriali complessi. Si intende provare la congettura di Fefferman (“SAK Principle”) sulla relazione tra norme e simboli di operatori nel caso di un operatore trasversalmente ellittico, ossia un operatore che degenera esattamente al second'ordine sul proprio insieme caratteristico. B) OPERATORI IPERBOLICI E DI EVOLUZIONE A. Ascanelli (Ferrara), M. Cicognani (Bologna), F. Colombini (Pisa), D. Del Santo (Trieste), G. Métivier (Bordeaux), A. Parmeggiani (Bologna), V. Petkov (Bordeaux), M. Prizzi (Trieste), J. Rauch (Michigan), M. Reissig (Freiberg). In riferimento a operatori iperbolici, o più in generale a operatori di evoluzione con caratteristiche reali, ci si propone di studiare le relazioni intercorrenti tra la regolarità dei coefficienti, ovvero il comportamento oscillante di questi, con l'esistenza, l'unicità, la regolarità e la dipendenza continua dai dati delle soluzioni del problema di Cauchy. La stessa questione si vuole affrontare per le equazioni paraboliche retrograde, anche con tecniche di analisi microlocale. Si vuole inoltre continuare lo studio di condizioni sufficienti per la buona posizione del problema di Cauchy per operatori iperbolici a caratteristiche doppie nel caso di non stabilità della geometria. Si intende infine proseguire una ricerca già avviata sullo Scattering per equazioni delle onde con potenziali periodici nella variabile di tempo e a supporto compatto nella variabile di spazio. C) CONTINUAZIONE UNICA F. Colombini (Pisa), C. Grammatico (Bologna), D. Tataru (Berkeley). Si intendono studiare problemi di "continuazione unica forte" per equazioni e disequazioni scalari nonché per sistemi ellittici, cercando anche controesempi che mostrino l’ottimalità dei risultati.