Analisi e Geometria nello spazio delle fasi ed Equazioni alle Derivate Parziali

Linee guida portanti ed unificanti della ricerca che si intende portare avanti sono l’Analisi e la Geometria dello Spazio delle Fasi in vari problemi e modelli riconducibili alle Equazioni alle Derivate Parziali. All'interno del progetto si intendono continuare varie collaborazioni multilaterali tra i partecipanti e con studiosi stranieri, con l'ulteriore apporto e coinvolgimento di alcuni giovani ricercatori. Le tematiche sono descritte qui di seguito in maggior dettaglio assieme alle principali collaborazioni, ferme restando le sinergie tra tutti i membri del progetto su tutti gli argomenti che si intendono affrontare nelle linee comuni di indirizzo. A) CONTINUAZIONE UNICA F. Colombini (Pisa), C. Grammatico (Bologna), D. Tataru (Berkeley). Si intendono studiare problemi di "continuazione unica forte" per equazioni e disequazioni scalari nonché per sistemi ellittici, cercando anche controesempi che mostrino l’ottimalità dei risultati. B) OPERATORI IPERBOLICI E DI EVOLUZIONE A. Ascanelli (Ferrara), M. Cicognani (Bologna), F. Colombini (Pisa), D. Del Santo (Trieste), G. Métivier (Bordeaux). In riferimento a operatori iperbolici, o piu’ in generale a operatori di evoluzione con caratteristiche reali, ci si propone di studiare le relazioni intercorrenti tra la regolarità dei coefficienti, ovvero il comportamento oscillante di questi, con l'esistenza, l'unicità e a dipendenza continua dai dati delle soluzioni del problema di Cauchy. Nel caso non kovalevskiano, ad esempio per operatori di tipo Schrodinger, si vuole determinare anche la decrescita ottimale dei coefficienti all’infinto rispetto alle variabili spaziali. Si intende inoltre proseguire una ricerca gia’ avviata sullo Scattering per equazioni delle onde in cui sono principalmente coinvolti F. Colombini (Pisa), V. Petkov (Bordeaux) e J. Rauch (Michigan). C) PROBLEMI DI RISOLUBILTA’ E IPOELLITTICITA’ F. Colombini (Pisa), P. Cordaro (San Paulo), M. Mughetti (Bologna), A. Parmeggiani (Bologna), L. Pernazza (Pavia). Si intendono affrontare i problemi di risolubilita' locale per operatori non di tipo principale e studiare condizioni geometriche necessarie e/o sufficienti per la risolubilita` di sistemi NxN. Si vuole continuare lo studio, in termini di geometria dello spazio delle fasi, della validita` della stima di Fefferman-Phong per sistemi e continuare lo studio dello spettro di sistemi globalmente ellittici diequazioni differenziali a coefficienti polinomiali e delle relative funzioni zeta-spettrali e formule di Poisson in termini della geometria del simbolo del sistema. Si intende poi studiare l'ipoellitticità C^infty per una classe di operatori (pseudo)differenziali la cui perdita di regolarità sia maggiore di quella classicamente caratterizzata; in tal senso, e’ necessario individuare invarianti di ordine superiore da associare all'operatore esaminato, in quanto quelli usuali non sono intrinsecamente sufficienti; D) PROPAGAZIONE DELLA REGOLARITA’/SINGOLARITA’ V. Murthy (Pisa). Si intende studiare la regolarita’ delle soluzioni di equazioni subellittiche associate a campi vettoriali che soddisfano la condizione di Hormander al di fuori di superfici non caratteristiche e che su queste superfici possono degenerare di ordine infinito. Si tratta di imporre condizioni di tipo microlocale su commutatori, sufficienti per assicurare stime a priori di tipo logaritmico - Sobolev. Si vuole poi studiare una classe di equazioni quasilineari subellittiche associate a campi vettoriali che soddisfano la condizione di Hormander e la propagazione della singolarita’ per sistemi di Dirac su campi spinoriali sulle varieta’ globalmente iperboliche, Infine, si vogliono analizzare i punti critici stabili per il funzionale di Ginzburg - Landau con un vettore potenziale magnetico su domini limitati in spazi di due e tre dimensioni e la connessione con le proprieta’ topologiche e le proprieta’ geomet...