Le direzioni della logica in Italia: la reverse mathematics e l'analisi computazionale

Nelle conversazioni tra matematici non è infrequente sentire affermazioni del tipo “i teoremi Φ e Ψ sono equivalenti”, oppure “il teorema Φ è più forte del teorema Ψ”. Dato che Φ e Ψ (essendo teoremi) sono entrambi dimostrabili, prendendo alla lettera le due affermazioni abbiamo che la prima è banalmente vera e la seconda banalmente falsa. Sappiamo tutti però che queste affermazioni hanno un altro significato, molto meno banale, e c’è quindi una ragione per cui vengono fatte. Negli ultimi decenni la logica matematica ha sviluppato alcuni strumenti in grado di rendere precise, e suscettibili di dimostrazione o refutazione, affermazioni come le precedenti. In particolare ci riferiamo alla reverse mathematics e all’analisi computazionale. Questi sono due programmi di ricerca di origine diverse che nell’ultimo decennio, anche grazie al contributo di alcuni ricercatori italiani, hanno trovato significativi punti di contatto. In questo lavoro presenteremo i due programmi, con particolare riferimento alle loro aree di contatto. Evidenzieremo in particolare i contributi dei ricercatori italiani attivi in queste aree, e concluderemo indicando alcune prospettive di sviluppo su cui anche in Italia si sta cercando di lavorare.