Metodi numerici per sistemi lineari di grandi dimensioni ed applicazione ad equazioni evolutive non lineari.

Il programma dell’unita’ di ricerca considerera’ diversi aspetti associati con la soluzione numerica di equazioni a derivate parziali che sono usate in diverse importanti aree applicative, quali l’elettromagnetismo, la fluidodinamica e l’elaborazione di immagini. La ricerca sull’elaborazione di immagini sara’ svolta in collaborazione con il gruppo industriale ESAOTE-BRACCO che produce ecografi e che fornira’ le immagini da elaborare. Saranno considerati classici modelli del secondo ordine di equazioni non lineari per l’eliminazione del rumore di tipo Perona-Malik, l’equazione di diffusione geometrica di Osher and Sethian, e alcune loro varianti per gestire opportunamente applicazioni quali il denoising e la segmentazione. Saranno inoltre presi in considerazione modelli del quarto ordine. Dal punto di vista numerico verranno analizzati tre differenti aspetti per ottenere soluzioni stabili ed efficienti: discretizzazione tempo-scala, discretizzazione spaziale e costruzione di risolutori efficienti e robusti per sistemi lineari. Per quanto riguarda l’aspetto di discretizzazione tempo-scala, verranno considerati principalmente schemi semi-impliciti, dove solo i termini lineari sono usati implicitamente, ma verrano anche sperimentati schemi impliciti. Per quanto riguarda la discretizzazione spaziale sara’ adottato un approccio variazionale basato su schemi ai volumi finiti e covolumi ma anche classici schemi alle differenze finite. Saranno adottate tecniche di precondizionamento avanzate per ridurre i tempi ed i costi della simulazione numerica. In alcuni casi si dovranno gestire matrici molto mal condizionate, per questo scopo saranno studiate tecniche iterative di regolarizzazione ed in particolare metodi per la determinazione del parametro di regolarizzazione. L’unita’ di ricerca si occupera’ anche della soluzione di sistemi algebrici lineari che sorgono in altri campi applicativi. Saranno considerati risolutori iterativi di tipo proiettivo per la risoluzione efficiente di sistemi lineari di grandi dimensioni che sorgono dalla discretizzazione di equazioni a derivate parziali non autoaggiunte. Saranno studiate in dettaglio le relazioni tra metodi ottimali (ma costosi da un punto di vista computazionale) e metodi quasi-ottimali meno costosi che sono ottenuti mediante tecniche di approssimazione o troncamento. Saranno analizzate tecniche di precondizionamento per sistemi lineari derivanti da problemi di punto sella. Questi sistemi hanno una matrice dei coefficienti di grandi dimensioni, sparsa con una tipica struttura a blocchi 2-per-2. La ricerca vertera’ sia sulla costruzione di nuovi precondizionatori che sul miglioramento di quelli esistenti che possono trattare matrici singolari o a blocchi non simmetrici. Matrici singolari o fortemente mal condizionate possono essere ottenute nel caso di operatori non coercivi nel continuo, come accade nelle formulazioni ad elementi finiti misti in problemi di magnetostatica. Un blocco non simmetrico e’ anche presente nella discretizzazione e linearizzazione delle equazioni stazionarie di Navier-Stokes. Lo scopo di questa parte del progetto consiste nella costruzione di un procedimento iterativo precondizionato la cui convergenza non dipenda dai parametri del problema. Saranno infine analizzati precondizionatori basati su tecniche di suddivisione per il metodo ad elementi finiti di Mortar, che può portare a risolutori iterativi la cui convergenza e’ indipendente dalla grandezza e dal numero dei sottodomini. Il nostro obbiettivo sara’ quello di implementare un precondizionatore efficiente per la soluzione di sistemi derivanti da problemi di elettrocardiologia retti da modelli di tipo reattivo-diffusivo. Questa ultima parte della ricerca sara’ svolta in collaborazione con la Dott.ssa M. Pennacchio, IMATI-CNR, Pavia.