Metodi numerici innovativi per modelli discreti di grandi dimensioni

La ricerca di questa unità si concentrerà su vari aspetti associati alla risoluzione numerica efficiente di EDP risultanti da problemi applicativi quali la visualizzazione, la ricostruzione di immagini, previsioni meteorologiche e simulazioni di circuiti. Le equazioni differenziali derivanti dalla risoluzione di problemi variazionali (o di flussi di discesa del gradiente) su una superficie, sono generalmente risolti su superfici triangolate o poligonali, cosicché il loro trattamento numerico prevede una loro accurata discretizzazione su griglie poligonali. L'evoluzione della superficie considerata può essere formulata mediante un metodo basato su level set a banda stretta, in cui la superficie è data implicitamente da un level set a quota zero di una funzione di più grandi dimensioni, oppure è ottenuta mediante un più tradizionale metodo Lagrangiano. È un fatto largamente accettato che tali calcoli su isosuperfici (definite implicitamente) sia più semplice e robusto che con i metodi Lagrangiani. Infatti, l'approccio level set permette di sfruttare una griglia Cartesiana corrispondente alla funzione associata. D’altra parte, non si deve dimenticare il maggior sforzo computazionale richiesto dall’approccio level set, sia nella fase preliminare di definizione della funzione level set a partire dalla superficie che rappresenta il fronte d’interfaccia, sia nella fase finale di estrazione della iso-superficie evoluta. Tale carico computazionale comporta ovviamente una possibile perdita di accuratezza. Per queste ragioni, considereremo entrambi gli approcci, mentre useremo schemi numerici basati su approssimazione semi implicita nel tempo, e covolumi finiti nello spazio. Particolare attenzione verrà inoltre data alla risoluzione dei sistemi lineari associati. Più precisamente, ci concentreremo sui seguenti modelli: un modello di minima superficie pesata per la ricostruzione di forme da dati non strutturati, un modello per la riparametrizzazione di superfici, e modelli di diffusione anisotropia di normali alla superficie per una regolarizzazione della stessa, che conservi le strutture della superficie originale. Con quest'ultimo approccio si ottiene una EDP non lineare del quarto ordine, riconducibile ad un sistema di due EDP non lineari del secondo ordine. In questo progetto investigheremo inoltre dei metodi numerici per la risoluzione di equazioni paraboliche, basati su volumi finiti con ricostruzione ottima. Nell’ottica di esplorare nuove tecniche di ricostruzione di ordine elevato a partire dalle informazioni sulle celle, verranno studiate classi di funzioni radiali quali le funzioni Gaussiane e funzioni multiquadriche inverse. All'interno dei metodi EDP con Metodi di Riduzione dell'Ordine, pensiamo di studiare tecniche di accelerazione per l'approssimazione dell'azione della funzione esponenziale ad un vettore, nel caso in cui la matrice derivi dalla discretizzazione di EDP dipendenti dal tempo. Inoltre, lavoreremo allo sviluppo di nuovi metodi iterativi per la risoluzione approssimata di equazioni di Lyapunov di grandi dimensioni. Nel contesto della risoluzione di sistemi lineari algebrici precondizionati, pensiamo di sviluppare nuovi precondizionatori strutturati per sistemi di tipo reazione-diffusione. Inoltre, nella risoluzione di questi sistemi mediante metodi tipo Krylov, pensiamo di proporre condizioni sufficienti più flessibili sulla matrice dei coefficienti, per derivare stime dell'errore che possano assicurare l'indipendenza del risolutore dai parametri del problema discretizzato e continuo. Riguardo la risoluzione di sistemi lineari discreti derivanti da problemi mal posti e vincolati, vorremmo approfondire la nostra conoscenza dell'efficienza di metodi di minimizzazione vincolata, quando questi sono utilizzati per problemi inversi. Inoltre, studieremo alcune modifiche di metodi iterativi noti per problemi di ottimizzazione, per adattarli alla risoluzione di problemi inversi vincolati di grandi dimensioni.