Problemi Matematici Non Lineari di Propagazione e Stabilità nei Modelli del Continuo (Nonlinear Mathematical Problems of Wave Propagation and Stability in Models of Continuous Media)

L'obiettivo del progetto è il seguente: A)analisi qualitativa e quantitativa delle soluzioni, sia classiche che deboli di tipo ondoso, di modelli della termomeccanica dei continui descritti da sistemi quasi lineari di tipo iperbolico con particolare riguardo alla problematica delle onde d'urto; B) riformulazione dei problemi di buona posizione con particolare riguardo ai principi di stabilità non lineare e stabilità totale e alla determinazione dei parametri critici per l'insorgere della instabilità lineare e non lineare; C)sviluppo di metodologie qualitative finalizzate alla caratterizzazione fisico-matematica di proprietà strutturali (o di "simmetria") di alcune classi di modelli quasilineari alle derivate parziali e caratterizzazione di soluzioni esatte in forma chiusa mediante tecniche di tipo gruppale per problemi iniziali e/o al contorno aventi un'intrinseca natura d'onda; D) implementazione dei modelli fenomenologici costruiti con i metodi rigorosi propri della Fisica Matematica con particolare attenzione all'ambito della moderna termodinamica estesa razionale e della teoria delle miscele anche reattive; E) problema di buone approssimazioni finito-dimensionali che permettano di recuperare per il loro studio le metodologie ottenute nell'ambito dei sistemi dinamici dissipativi e conservativi; F) comprensione dei limiti e delle correlazioni fra i modelli di tipo parabolico e quelli di tipo iperbolico con particolare riguardo a problemi di convezione ed al confronto tra i risultati previsti dalla teoria di Navier-Stokes-Fourier e quelli della termodinamica estesa; G) analisi qualitativa e quantitativa di problemi inversi per equazioni del trasporto di fotoni in nubi interstellari e, più in generale, alla modellizzazione di miscele gassose in presenza di campi radiativi; H) studio dell'evoluzione di dati iniziali a vorticità concentrata ed in particolare alla prova che, nel limite di piccola viscosità, la dinamica di un strato sottile di vorticità è governata dalle equazioni di Birkhoff-Rott. (The objective of this project is the following: A) Qualitative and quantitative analysis of the solutions, both classical and weak (wave-shaped solutions), of continuum thermo-mechanic models represented by quasi-linear systems of hyperbolic type with particular emphasis on the propagation of shock waves; B) Formulation of well-posed problems with attention to nonlinear stability principles and global stability and to the computation of the critical linear and nonlinear stability parameters; C) Development of qualitative procedures in order to determine, along the classical lines of Mathematical Physics, classes of nonlinear PDEs exhibiting special "structural simmetries". Characterization of exact solution with inherent wave features of classes of initial and/or boundary value problems using group analysis methods; D) Implementation of phenomenological models deduced by the rigorous methods of Mathematical Physics with particular attention to the modern rational extended thermodynamics and to the theory of inert and reactive fluid mixtures; E) Problems of finite dimensional approximations for which one may employ the methodologies recently obtained within dissipative and conservative dynamical systems; F) Attempt to understand the possible limits and connections between the models of parabolic and hyperbolic type in particular in convection problems comparing the results of the Navier-Stokes-Fourier model and the one of Extended Thermodynamics; G) Qualitative and quantitative analysis of inverse problems for photon transport equations in interstellar clouds, and, more in general, models of gaseous mixtures in presence of radiative fields; H)The analysis of the evolution of initial data of the Navier-Stokes equations characterized by concentrated vorticity; in particular to give a rigorous proof that, in the limit of zero viscosity limit, the dynamics of a thin vortex layer is ruled by the Birkhoff-Rott equations.)