Progetto Intergruppo INDAM -GNCS-GNAMPA, 2003-2004, coordinatore nazionale: “Aspetti teorici e computazionali dei problemi inversi".

Titolo: Aspetti teorici e computazionali dei problemi inversi Descrizione: Negli ultimi venti anni la ricerca nel campo dei problemi inversi ha subito un rapido sviluppo. La velocità di calcolo degli attuali calcolatori e lo sviluppo di algoritmi sempre più efficienti ha reso possibile un'analisi sistematica di problemi inversi particolarmente interessanti. Le piu' importanti applicazioni comprendono l'imaging medico, la localizzazione di risorse pretolifere e minerarie, la creazione di immagini astrofisiche da rilevamenti telescopici, la determinazione di fratture all'interno di materiali e il restauro digitale di video. Lo scopo di questo progetto e' rafforzare le collaborazioni tra Ricercatori di Analisi Matematica e Analisi Numerica che lavorano su questi problemi allo scopo di produrre sia risultati teorici e metodi computazionali in problemi aperti della fisica, ingegneria, medicina e scienze applicate, sia risultati interessanti per il settore industriale. Ci si propone di giungere ad uno studio completo, principalmente dal punto di vista teorico e computazionale, di alcuni problemi inversi basati su equazioni alle derivate parziali o su equazioni integrali che interessano le applicazioni, alcuni gia' parzialmente investigati dal punto di vista teorico e/o numerico in precedenti progetti GNAMPA e GNCS e COFIN. Alcune questioni che si intendono trattare riguardano i modelli e metodi basati su equazioni a derivate parziali (PDE) per la regolarizzazione ed il denoising di immagini generiche, la ricostruzione di immagini SPECT (Tomografia a emissione di fotone singolo) e fMRI (Imaging di Risonanza Magnetica funzionale) e infine, l'inversione numerica della Trasformata di Laplace. Le tecniche di regolarizzazione TV (Total Variation) e PDE, in generale, sono attualmente oggetto di molti studi e ricerche in quanto permettono di elaborare le immagini preservando i contorni e altre proprieta' geometriche di interesse. D'altra parte le tecniche iterative di regolarizzazione, associate ad opportune strategie di precondizionamento, costituiscono un altro filone innovativo nel campo metodologico: in particolare, l'applicazione di concetti avanzati di algebra lineare strutturata possono consentire una drastica riduzione della complessita' computazionale. Altre questioni che si intendono trattare ruotano attorno al problema che prende il nome di tomografia da impedenza elettrica, una tecnica non invasiva di rilevamento di immagini con applicazioni significative in medicina e anche in ambito industriale. Lo scopo della tomografia da impedenza elettrica e' quello di determinare la conduttivita' interna di un corpo mediante misurazioni del potenziale elettrostatico sulla superficie del corpo stesso. Un caso di particolare rilevanza si da quando la conduttività può assumere solo due valori, uno che corrisponde alla conduttività di riferimento all'interno del corpo, mentre l'altro corrisponde a una inclusione anomala che deve essere individuata. Dal punto di vista matematico si tratta di determinare il coefficiente principale di una equazione ellittica del secondo ordine da valori al bordo delle soluzioni dell'equazione stessa. Su questo problema esistono numerosi risultati teorici che richiedono la progettazione di algoritmi efficienti data la grande complessita' del problema. Sedi dei Partecipanti: Firenze: Gnampa: Talenti Giorgio, Gnampa: Francini Elisa, Gncs: Inglese Gabriele, Gnampa: Sgheri Luca, Gnampa: Arena Orazio, Gnampa: Magnanini Rolando, Gnampa: Mariani Francesca, Gnampa: Ciraolo Giulio, Gnampa: Sergio Vessella, Trieste: Gnampa: Alessandrini Giovanni, Gnampa: Rosset Edi, Gnampa: Rondi Luca, Gnampa: Morassi Antonino, Gnampa: Eva Sincich, Roma: Gnampa: Beretta Elena, Milano: Gnampa: Pagani Carlo Domenico, Gnampa: Bacchelli Valeria, Gnampa: Cavaterra Cecilia, Maurizio Verri, Gnampa: Michele Di Cristo, Genova: Gncs: Brianzi Paola, Gncs: Di Benedetto Fabio, Gncs...