Il progetto si articola nei seguenti due temi di ricerca. 1. Equazioni di trasporto a coefficienti discontinui associate a sistemi iperbolici multidimensionali. Nel corso degli ultimi anni si è avuto un progresso considerevole nella comprensione di una classe speciale di sistemi di leggi di conservazione in più dimensioni spaziali (che fu studiata per la prima volta da Keyfitz e Kranzer) in cui il flusso del sistema possiede una simmetria radiale. Alcuni recenti lavori di L. Ambrosio, F. Bouchut & C. De Lellis, e di A. Bressan mostrano che, per questa classe di sistemi di leggi di conservazione, il problema di Cauchy è ben posto nel caso di dati iniziali a variazione totale limitata, mentre è mal posto per dati che ammettono una quantità illimitata di oscillazioni. Nei risultati di L. Ambrosio e C. De Lellis, l'analisi di equazioni di trasporto con coefficienti discontinui e l'uso delle tecniche di ``rinormalizzazione'' introdotte da Di Perna e Lions giocano un ruolo chiave nella costruzione della ``componente angolare'' della soluzione del sistema multidimensionale originario. Il progetto si è proposto di proseguire questa linea di ricerca prendendo in considerazione sistemi iperbolici multidimensionali differenti da quelli di Keyfitz e Kranzer. Lo studio di tali sistemi dovrebbe condurre naturalmente all'analisi di equazioni di trasporto con coefficienti che appartengono ad una classe più ampia di quella delle funzioni a variazione totale limitata. È dunque essenziale comprendere qual'è la linea sottile che discrimina tra situazioni in cui un flusso di soluzioni esiste, e casi in cui si determinano dei fenomeni di oscillazione che impediscono l'esistenza di un ben definito flusso di soluzioni associato ad un'equazione differenziale a coefficienti discontinui. 2. Problemi di controllo al bordo per sistemi iperbolici Il progetto si è proposto di proseguire in questo ambito la linea di ricerca già intrapresa nel precedente progetto di ricerca del 2003. Si è voluto in particolare studiare una classe di problemi di controllo al bordo per sistemi iperbolici in cui il controllo alla frontiera agisce solo su alcune componenti delle famiglie caratteristiche entranti nel dominio della soluzione. Per esempio si può considerare il sistema isentropico della gas dinamica che descrive un gas confinato in un cilindro tra due pistoni. In questo caso è naturale aspettarsi che, controllando solamente la velocità di un pistone, sia possibile stabilizzare asintoticamente il sistema ad uno stato costante. In questa direzione si vogliono dunque determinare delle condizioni che garantiscano la stabilizzabilità ad uno stato costante di un sistema iperbolico di leggi di conservazione in cui i controlli al bordo siano assegnati solo per alcune delle famiglie caratteristiche entranti nel dominio.
F. Ancona (2004). Problemi multidimensionali e problemi di controllo per sistemi iperbolici.
Problemi multidimensionali e problemi di controllo per sistemi iperbolici
ANCONA, FABIO
2004
Abstract
Il progetto si articola nei seguenti due temi di ricerca. 1. Equazioni di trasporto a coefficienti discontinui associate a sistemi iperbolici multidimensionali. Nel corso degli ultimi anni si è avuto un progresso considerevole nella comprensione di una classe speciale di sistemi di leggi di conservazione in più dimensioni spaziali (che fu studiata per la prima volta da Keyfitz e Kranzer) in cui il flusso del sistema possiede una simmetria radiale. Alcuni recenti lavori di L. Ambrosio, F. Bouchut & C. De Lellis, e di A. Bressan mostrano che, per questa classe di sistemi di leggi di conservazione, il problema di Cauchy è ben posto nel caso di dati iniziali a variazione totale limitata, mentre è mal posto per dati che ammettono una quantità illimitata di oscillazioni. Nei risultati di L. Ambrosio e C. De Lellis, l'analisi di equazioni di trasporto con coefficienti discontinui e l'uso delle tecniche di ``rinormalizzazione'' introdotte da Di Perna e Lions giocano un ruolo chiave nella costruzione della ``componente angolare'' della soluzione del sistema multidimensionale originario. Il progetto si è proposto di proseguire questa linea di ricerca prendendo in considerazione sistemi iperbolici multidimensionali differenti da quelli di Keyfitz e Kranzer. Lo studio di tali sistemi dovrebbe condurre naturalmente all'analisi di equazioni di trasporto con coefficienti che appartengono ad una classe più ampia di quella delle funzioni a variazione totale limitata. È dunque essenziale comprendere qual'è la linea sottile che discrimina tra situazioni in cui un flusso di soluzioni esiste, e casi in cui si determinano dei fenomeni di oscillazione che impediscono l'esistenza di un ben definito flusso di soluzioni associato ad un'equazione differenziale a coefficienti discontinui. 2. Problemi di controllo al bordo per sistemi iperbolici Il progetto si è proposto di proseguire in questo ambito la linea di ricerca già intrapresa nel precedente progetto di ricerca del 2003. Si è voluto in particolare studiare una classe di problemi di controllo al bordo per sistemi iperbolici in cui il controllo alla frontiera agisce solo su alcune componenti delle famiglie caratteristiche entranti nel dominio della soluzione. Per esempio si può considerare il sistema isentropico della gas dinamica che descrive un gas confinato in un cilindro tra due pistoni. In questo caso è naturale aspettarsi che, controllando solamente la velocità di un pistone, sia possibile stabilizzare asintoticamente il sistema ad uno stato costante. In questa direzione si vogliono dunque determinare delle condizioni che garantiscano la stabilizzabilità ad uno stato costante di un sistema iperbolico di leggi di conservazione in cui i controlli al bordo siano assegnati solo per alcune delle famiglie caratteristiche entranti nel dominio.I documenti in IRIS sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
